Бинарная операция на множественные

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $mathbb{Z}^2$ коммутативной и/или ассоциативной.29 мая 2014

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Алгоритмы JavaScript
Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории
Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки
Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов
Интегральное исчисление
Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов

Бинарная операция. Бинарной операцией, заданной на множествах A и B, называется операция, заданная на множестве пар (a,b), где a – элемент A, b – элемент B.

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций
Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты
Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат

Операции над множествами. 1) Сравнение множеств. Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы множества А  ПРИМЕР. , − n-арное отношение на множестве А. Виды бинарных отношений на множестве A.

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка
Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования
Комплексный анализ
Алгебраические структуры и операции
Предметом рассмотрения в абстрактной алгебре являются произвольные множества с заданными на них операциями. При этом природа множеств и операций может существенно отличаться от привычных числовых множеств и известных операций над числами. Мы уже сталкивались с операциями над множествами и бинарными отношениями, которые оказались в чем-то похожими на операции над числами, но в то же время проявились и их существенные отличия.
В дискретной математике разрабатываются алгоритмы и вычислительные методы, позволяющие манипулировать сложно организованными нечисловыми структурами. Проблема работы с такими объектами возникла в связи с развитием современных информационных технологий и переходом от собственно вычислений (т.е. операций над числами) к обработке сложных структур данных. Так, проблемы программирования и машинного перевода привели к задачам работы с языковыми структурами, проблемы автоматизации проектирования — к задачам обработки графических объектов.
Современная дискретная математика проникнута алгебраическим духом, поскольку оказалось, что именно на алгебраической базе наиболее удобно разрабатывать общие подходы к работе с объектами различной природы.
Понятие алгебраической структуры
Множество векторов в пространстве с операцией сложения векторов, операцией векторного умножения, множество квадратных матриц с операциями сложения или умножения, множество функций с операцией сложения — вот примеры некоторых множеств с операциями, рассматривающихся в различных разделах математики. Выясним, что общего есть в свойствах операций на этих множествах и в чем их различие.
Определение 2.1. Пусть — произвольное непустое множество и — натуральное число. Любое отображение называют n-арной (или n-местной) операцией на множестве .
Таким образом, согласно приведенному определению, n-арная операция и каждому кортежу однозначно сопоставляет элемент . Компоненты кортежа называют при этом аргументами операции , а — результатом применения операции и к аргументам .
Для n-арной операции используют обозначение
или .
Обычно, если , пишут . При и говорят соответственно об унарной операции и бинарной операции.
Специально вводят понятие нульарной операции (т.е. для ). Под нульарной операцией на множестве понимают произвольный фиксированный элемент множества . Нульарные операции позволяют фиксировать элементы множества , обладающие некоторыми специальными свойствами. Примером выполнения нульарной операции является, например, фиксирование нуля в множестве целых чисел с операцией сложения. Примером унарной операции служит дополнение заданного множества до универсального множества.
Наиболее важными в алгебре и, следовательно, наиболее исследованными являются бинарные операции. Примерами таких операций могут служить сложение и умножение чисел, сложение и умножение матриц, сложение векторов линейного пространства.
Рассмотрим бинарную операцию на множестве , обозначив ее звездочкой . Эту операцию называют:
Операция сложения, заданная на множестве натуральных чисел, является ассоциативной и коммутативной. Операция умножения матриц ассоциативна, но не коммутативна. Идемпотентными являются операции объединения и пересечения множеств.
Элемент множества называют левым (правым) нулем относительно данной операции , если для любого .
Если — левый нуль, а — правый нуль, то они совпадают. Действительно, если и существуют, то они совпадают, так как , и в этом случае говорят просто о нуле относительно операции. Из приведенных равенств следует, что нуль единственный и для него одновременно выполнены оба равенства и .
Пример 2.1. а. На множестве целых чисел нулем относительно операции умн

Чем больше операций задано на множествах, тем богаче соответствующая этим операциям структура.  4.3. Структура группы на множестве Определение 4.2. Группой называется множество G c такой бинарной операцией ⊗: G × G → G , что

и на пересечении строки и столбца указан результат. Например, b • c = d . А. Я. Овсянников Тема 1-4: Алгебраические операции Свойства операций Пусть ◦ бинарная алгебраическая операция на множестве X

Бинарная операция f2 называется коммутативной, если для любых элементов a и b выполняется f2(a,b)=f2(b,a); более привычна  Алгебраическая система отличается от алгебры тем, что на множестве кроме операций задаются еще отношения.